Kumpulan Soal-Soal Ujian Akhir Mata Kuliah Aljabar Matriks

Latihan Soal Matriks

1.     Sebutkan:

a.     Definisi Matriks Ortogonal

b.     Teorema Operasi Baris Elementer

c.     Rank Matriks

Jawaban

a.     Matriks ortogonal

merupakan sebuah matriks persegi A_nn yang jika dan hanya jika AA^T = A^TA = I_n

b.     Teorema Operasi Baris Elementer

Operasi pada sebuah matriks pada entri-entri matriks untuk baris atau kolom yang akan menghasilkan matriks baru dengan entri-entri yang berbeda

c.     Rank matriks

Adalah jumlah maksimum dari vektor baris atau vektor kolom yang linear independen (bebas linear)

 

2.     Selesaikan SPL berikut dengan menggunakan aturan Cramer

3x₂ = 7

3x₁ – 4x₂ = 2               

4x₁ – 6x₂ + 2x₃ = 4

Penyelesaian

 

3.     Diberikan matriks berikut

Tentukan

a.     Determinan dari matriks K

b.     Rank dan bentuk kanonik matriks K menggunakan transformasi elementer

c.     Apakah K ekuivalen terhadap L? (Buktikan dengan menggunakan transformasi elementer)

Penyelesaian

Karena matriks K merupakan matriks segitiga, sesuai sifat-sifat determinan. Maka, det(K) = 3 × (–2) × 6 × 2 = –72

b.     Diketahui det(K) = –72

Karena det(K) = –72 ≠ 0 maka rank (K) = 4

Dengan menggunakan OBE untuk menentukan rank dan bentuk kanonik matriks

Sehingga matriks K ekuivalen kolom dengan matriks L

 

Latihan Soal Matriks 2

1.     Diberikan matriks berikut

            Dengan menggunakan transformasi elementer

            Tentukan:

a.     Invers kanan N

b.     Invers kiri N

c.     Invers kanan O

d.     Invers kiri O

Penyelesaian

a.    Misalkan A adalah invers kanan dari matriks N, maka

NA = I

 

b.    Misalkan B adalah invers kiri dari matriks N, maka

BN = I

c.    Misalkan C adalah invers kanan dari matriks O, maka

OC = I

d.    Misalkan D adalah invers kiri dari matriks O, maka

DO = I

2.     Gunakan matriks N untuk membuktikan

(N^(–1))^(–1) = N

Penyelesaian

Akan dibuktikan (N^(–1))^{( –1)} = N

3.     Gunakan matriks O untuk membuktikan

O . O^-1 = I

Penyelesaian

Akan dibuktikan O × O^-1 = I

 

4.     Gunakan vektor-vektor berikut untuk mencari cosinus θ₁, θ₂ dan θ₃ dari sudut-sudut bagian dalam segitiga dengan puncak-puncak:

a.     q = (8, -1), r = (4, -1) dan s = (-2, 1)

b.     q = (7, -1), r = (2, -5) dan s = (6, 1)

Penyelesaian

5.     Tentukan apakah q, r dan s pada soal nomor 3 membentuk sudut lancip, tumpul atau tegak lurus!

Penyelesaian

a.              q = (8, –1)     r = (4, –1)     s = (–2, 1)

q.r = (8 × 4) + (–1 × –1) = 32 + 1 = 33,         33 > 0

q.s = (8 × –2) + (–1 × 1) = –16 – 1 = –17,     –17 < 0

r.s = (4 × –2) + (–1 × 1) = –8 – 1 = –9,          –9 < 0

 

b.              q = (7, –1)     r = (2, –5)     s = (6, 1)

q.r = (7 × 2) + (–1 × –5) = 14 + 5 = 19,         19 > 0

q.s = (7 × 6) + (–1 × 1) = 42 – 1 = 40,           40 > 0

r.s = (2 × 6) + (–5 × 1) = 12 – 5 = 7,              7 > 0

Karena nilai ketiganya lebih besar dari 0, sehingga dapat disimpulkan q, r dan s membentuk sudut lancip

 

6.     Tentukan komponen vektor u sepanjang a dengan

a.     u = (16, 2, 101)     a = (30, –9, 51)

b.     u = (17, 2, 111)     a = (-10, –9, 40)

Penyelesaian

Sehingga, komponen vektor u sepanjang a adalah 0,469

Sehingga, komponen vektor u sepanjang a adalah 0,337

 

7.     Misalkan u = (16, 12, –1), v = (50, 22, –11). Tunjukkan hubungan antara hasil kali silang dan hasil kali titik menggunakan identitas Lagrange pada vektor u dan v

Penyelesaian

||u × v||² = ||u||² ||v||² – (u.v)²

= (16² + 12² + (–1)²) (50² + 22² +(–11)²) – ((16)(50) + (12)(22) + (–1)( –11))²

= (256 + 144 + 1) (2500 + 484 + 121) – (800 + 264 + 11)²

= (401) (3.105) – 1075² = 1.245.105 – 1.155.625 = 89.480